Turbo码及其在第3代移动通信中的应用（上）

文章编号：1009－6868(2001)03－0016－06 文献标识码：A 中图分类号：TN929 .5

　　级联码首先由Forney提出[1]，它将两个或多个单码级联，在不增加译码复杂度的情况下， 可以得到高的编码增益和与长码相同的纠错能力。串行级联码经常用在功率有限的系统中，如深空探测。常用的一种结构是RS作外码(先编码，后译码)、卷积码作内码(后编码，先译码)的级联码。Berrou等人提出的Turbo码[2,3]，在发送端采用级联编码结构并在接收端采 用迭代译码算法，当误比特率为10－5、码率为1/2时，使用带宽为1Hz的AWGN理想信道传送 速率为1bit/s的信息所需要的信噪比离信道容量的极限要求只有0.7dB的距离。Turbo码由两个或多个子编码单元组成，它们分别对信息序列和其交织后的序列进行编码。传统的编码， 输出采用硬判决译码。而对Turbo码等级联码，这种硬判决不是最佳选择。为了充分利用每一个子译码器输出的信息，Turbo码使用更有效的迭代译码算法并进行软判决。Turbo码作为一种在理论上有重要意义的信道编码方式，也有着广泛的应用前景，在一些第3代移动通信系统的方案中已经被实际采用。

　　1 基本知识
　　
　　1.1对数似然比

　　根据Bayes公式，在AWGN信道中，接收到序列x时发送为d=i 的后验概率为：

　　其中，表示连续随机变量x在整个样值空间发生的概率密度函数 ，p(x|d=i)表示发送d=i时接收序列x的概率密度函数，P(·) 表示变量发生的概率。

图1 概率密度似然函数

　　先看二进制的情况，分别用电平＋1和－1来代表二进制数1和0。因此，d的取值变为-1和＋1。图1中示出发送d=－1和d=＋1时变量x的概率密度似然函数(这里定义p(x|d=i) 为概率密度似然函数)。在图1中，对于任一预测值xk可得到两个似然函数值λ1和λ2。硬判决方 法，也称极大似然判决，是指在λ1<λ2，即落在判决线γ左侧时选择d=-1；而在λ1>λ2 ，即右侧时选择d=＋1。

　　类似的判决准则还有极大后验概率MAP准则：

　　式(2)中，后验概率P(d=＋1|x)大于P(d=－1|x)时，选择H1(d=＋1)；反之选择H1(d=－1) 。对式(2)再应用Bayes公式，可得最小误差准则：

　　式(3)常写成如下的比率形式，称之为似然比：

　　式(4)两边取对数就得到对数似然比。实际上，软判决时的软输出正是对数似然比L(d|x)：



　　其中， L(x|d)和L(d)分别是信道估计对数似然比和数据d的先验对数似然比。为了简化，改写式(7)为：

　　这里，将L(d|x)记作L'() 表示检测器输出数据的对数似然比(译码器的输入)，L(d|x) 记作Lc(x)是为了强调它是信道估计对数似然比。文献2指出对一个系统码，软判决译码输出的对数似然比L()为：

　　这里，Le(d)表示在译码过程中得到的外部信息，称之为外信息。式(9)将译码器划分为 检测器检测的数据端和外部信息端两部分。综合式(8)和式(9)，有：

　　采用软判决时，L()的符号用以判决(硬判决)，即L()>0判为＋1，Le()<0判为－1， 而L()绝对值的大小则表示判决的可信度。

　　1.2 迭代译码算法

　　首次软输入软输出Soft-In-Soft-Out(SISO)的迭代译码算法如图2所示。一般假定输 入数据等概率发送，因此有式(8)的第3项L(d)=0 。信道预估计值，式(8)的第二项Lc(x) ， 通过计算λ1和λ2 的比值的对数得到。译码器输出L()由对数似然比L'()和外信息Le() 组成，并且外信息Le()反馈到译码器的输入端，作为下一次迭代运算的先验值，如图2所示 。

图2 软输入软输出迭代译码算法示意图

图3 二维乘积码

　　考虑如图3所示的二维乘积码。图中d表示信息数据块，ph和pv分别表示行和列监督数据块，Leh和Lev分别表示译码过程中产生的行和列外信息数据块。这是一种简单的级联码，它的译码可分为行和列两个独立的过程，具体步骤为：

(1)置初始值L(d)=0；
(2)按行译码，由式(10)得到行外信息Leh()=L()－Lc(x)－L(d)；
(3)置L(d)=Leh(d)；
(4)按列译码，由式(10)得到列外信息Lev()=L()－Lc(x)－L(d)；
(5)置L(d)=Lev()；
(6)如果迭代结果足以进行可靠的判决，转到步骤(7)；否则，转到步骤(2)；
(7)软输出L()=Lc(x)＋Leh()＋Lev(d)。

　　1.3 二维奇偶校验乘积码实例

图4 二维乘积码实例

　　了解了对数似然比和迭代译码算法后，通过如图4所示的一个二维奇偶校验乘积码实例，下面来讨论软判决这一概念。在图4中校验位和数据位之间的关系如下：

　　这里，运算符表示模-2加。发送符号序列为{d1d2d3d4d12d34d13d24}，接收符号序列为{xi,xij}。其中xi=di＋n,xij=pij＋n。假设复信道噪声n是均值为0方差为δ2的高斯噪声，且与信号独立。为了简化，用{xk}统一表示序列{xi,xij}中的所有元素。因此，由前面式(6)有：

　　为了简化，式(12)中取自然对数。对于衰落信道，a表示衰落幅度；对于高斯信道a=1，并设δ2=1，就有Lc(xk)=2xk。若发送序列为{10011111}，则有{di,dij}=＋1 -1 -1 ＋1 ＋1 ＋1 ＋1 ＋1，由于存在噪声，接收端收到的信号可能是{xk}=0.75 0.05 0.1 0.15 1.2 5 1 3 0.5。由Lc(xk)=2xk得到：
　　{Lc(xk)}=1.5 0.1 0.2 0.3 2.5 2 6 1 (13)
　　如果使用硬判决，则d2和d3将会错判为1；如果使用软判决时，由式(10)有：

　　其中软译码过程中产生的外信息，对数似然比求和运算定义为[4]：

　　由式(14)对图4所示的码，容易得到：

　　将初始状态L(di)=0(i=1,2,3,4)代入式(16)～(19)中，并结合式(13)、(14)和(15)得到第一次迭代的结果，如表1所示。由此可知，虽然考虑了附加信息Leh(i)(i=1,2,3,4)，但由式(14)得到的按迭代的结果Lc(xk)＋Leh(dk)还并不理想，故须再迭代一次。再次按行迭代时，将第一次运算得到的Leh(di)(i=1,2,3,4)作为L(di)(i=1,2,3,4)的新值，重复式(16)到(19)的计算。同样作按列迭代。综合按行和按列的结果，得到第二次迭代的结果，如表2所示。经过两次迭代后得到的对数似然比基本上已经达到平衡，这时的判决就具有一定的可 靠性，得到了正确的判决。综上所述，软判决迭代译码算法正是利用了译码过程中产生的外信息，从而提高了译码的可靠性。

　　表1 第一次迭代的结果

　　表2 第二次迭代的结果

[摘要] 文章在介绍级联码、迭代译码算法以及软判决的基础上，系统阐述了Turbo码的基本概念 、关键技术及其在现代移动通信系统中的应用。

[关键词] Turbo码 级联码 信道编码

[Abstract] Based on the concepts of concatenated codes, iterative decoding algorithm an d soft decisions, this paper introduces the general concepts of Turbo codes and their key technologies. In addition, their applications in the modern mobile comm unications system are also introduced.

[Keywords] Turbo code Concatenated code Channel coding